Livre: Mécanique du point, 2ème édition Cours et exercices corrigés / Alain Gibaud & Michel Henry
Livre: Mécanique du point, 2ème édition Cours et exercices corrigés / Alain Gibaud & Michel Henry
SCIENCE SUP
Cours et exercices corrigés
Licence 1re et 2e années
COURS DE PHYSIQUE
Mécanique du point
2ème édition
Alain Gibaud
Michel Henry
DUNOD
mots clefs
livre, pdf, djvu, télécharger, gratuit, gratuitement
AVANT-PROPOS
Le cours présenté dans ce livre est le fruit de plusieurs années d’enseignement dispensé
aux étudiants de première année à l’université du Maine. Il s’agit d’un cours d’introduction à la mécanique du point et des systèmes de points matériels. Notre souci au cours
de la rédaction de cet ouvrage a été de nous référer aux connaissances acquises par les
étudiants dans les classes du secondaire afin d’assurer une transition la plus continue possible.
La principale difficulté que nous avons rencontrée lors de ce cours a été certainement
d’ordre mathématique. La mécanique est une science qui exige de la rigueur et les
concepts acquis lors de l’apprentissage dans le secondaire sont ici repris de façon plus
formelle et rigoureuse. Nous présentons donc, en annexe 1, les outils mathématiques qui
nous semblent nécessaires à la bonne compréhension du cours de physique.
Le premier et le second chapitres sont consacrés à la cinématique du point ainsi qu’aux
changements de référentiels. Nous insistons plus particulièrement sur la définition du
référentiel ; cette définition conditionne bien souvent la façon de traiter un problème et
reste, bien des fois, mal comprise.
Nous présentons ensuite les lois fondamentales de la mécanique en décrivant les forces les
plus classiques susceptibles d’intervenir dans les problèmes de mécanique. Nous introduisons alors les concepts d’énergie et de puissance avant de présenter les oscillateurs libres
et forcés.
La partie suivante montre que pour traiter un problème de mécanique dans un référentiel
non galiléen il est nécessaire d’introduire des pseudos forces appelées forces d’inertie.
L’étude du poids d’un corps sur Terre met en évidence le fait que le référentiel terrestre
n’est pas galiléen. L’étude du phénomène des marées conduit à la même conclusion pour
le référentiel géocentrique.
Les deux derniers chapitres sont consacrés au problème à deux corps. L’accent est mis
sur la notion de référentiel barycentrique. L’étude de la trajectoire d’un système à deux
corps permet de retrouver les lois de Kepler auxquelles obéissent les planètes du système
solaire. Une présentation de la mécanique céleste se trouve à la fin du livre en annexe 2.
Cet ouvrage s’adresse bien sûr aux étudiants du premier cycle universitaire mais aussi à
ceux des classes préparatoires, du CAPES et de l’agrégation. Nous espérons qu’il leur sera
une aide précieuse dans leur effort de compréhension de cette branche de la physique.
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos III
CHAPITRE 1 . C INÉMATIQUE DU POINT 1
1. De la nécessité du référentiel 1
2. Vitesse d’un point matériel 5
3. Accélération d’un point matériel 9
4. Récapitulatif 11
5. Exemples de mouvements 12
À retenir 18
Exercice d’application a vec solution détaillée 19
Exercices 20
Solutions 23
CHAPITRE 2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS 29
1. Mouvements d’un référentiel par rapport à un autre 29
2. Étude de la vitesse 34
3. Étude de l’accélération 41
À retenir 43
Exercice d’application a vec solution détaillée 44
Exercices 47
Solutions 51
CHAPITRE 3. LOIS DE NEWTON ET RÉFÉRENTIELS GALILÉENS 57
1. Principe d’inertie : première loi de Newton 57
2. Principe de la dynamique : deuxième loi de Newton 62
3. Actions réciproques : troisième loi de Newton 65
4. Les forces 66
5. Applications 72
À retenir 77
Exercices d’application a vec solution détaillée 78
Exercices 83
Solutions 86
CHAPITRE 4. TRAVAIL, PUISSANCE, ÉNERGIE 93
1. Travail d’une force 93
2. Exemples de calcul du travail 95
3. Puissance d’une force 98
4. Énergie 98
5. États liés d’un système mécaniquement isolé 104
À retenir 107
Exercices d’application a vec solution détaillée 109
Exercices 121
Solutions 121
CHAPITRE 5 . OSCILL ATEURS M ÉCANIQUES 125
1. L’oscillateur harmonique 125
2. Équation différentielle 127
3. Exemples d’oscillateurs harmoniques 128
4. Étude énergétique des oscillateurs 130
5. Oscillateur mécanique amorti par frottements visqueux 132
6. Analogie électrique 137
7. Oscillateur amorti par frottement solide 137
8. Portrait de phase d’un oscillateur 141
À retenir 143
Exercices d’application a vec solution détaillée 144
Exercices 152
Solutions 153
CHAPITRE 6 . OSCILL ATIONS FORCÉES, R ÉSONANCE 155
1. Oscillations forcées 155
2. Solution de l’équation différentielle 158
3. Transfert de puissance 163
4. Facteur de qualité 165
À retenir 166
Exercices d’application a vec solution détaillée 167
CHAPITRE 7 . INTERACTION GRAV ITATIONNELLE 175
1. Attraction universelle 175
2. Champ de gravitation terrestre 177
3. Énergie potentielle de gravitation 179
4. Applications 181
À retenir 185
CHAPITRE 8 . R ÉFÉRENTIELS NON G ALILÉENS 187
1. Introduction 187
2. Loi de la dynamique dans un référentiel non galiléen 188
3. Exemples d’application 189
4. Dynamique terrestre 197
À retenir 209
Exercices d’application a vec solution détaillée 209
Exercices 219
Solutions 221
CHAPITRE 9 . SYSTÈMES À DEUX CORPS 227
1. Éléments cinétiques 227
2. Référentiel du centre de masse 229
3. Relation fondamentale de la dynamique 232
4. Propriétés du mouvement 236
À retenir 241
Exercices d’application a vec solution détaillée 242
CHAPITRE 10. TRAJECTOIRES D’UN SYSTÈME À DEUX CORPS 253
1. Rappels 253
2. Équation polaire de la trajectoire : Formule de Binet. 254
3. Résolution de la formule de Binet 256
4. Étude des trajectoires 257
5. Étude énergétique 260
6. Trajectoires elliptiques : lois de Kepler 261
À retenir 265
Exercices d’application a vec solution détaillée 265
Exercices 274
Solutions 277
ANNEXE 1. RAPPEL DES OUTILS MATHÉMATIQUES 283
1. Scalaires et vecteurs 283
2. Composantes d’un vecteur 286
3. Produit scalaire 288
4. Produit vectoriel 290
5. Dérivation vectorielle 293
6. Différentielle d’une fonction 294
7. Vecteur gradient d’une fonction 302
8. Intégrales et primitives 304
9. Intégrales vectorielles 306
ANNEXE 2. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE CÉLESTE 309
1. Historique 309
2. Définitions 311
3. La Voie Lactée 312
4. Le Système Solaire 313
5. La définition du temps 316
6. Temps et repérage de la longitude des étoiles 318
7. Repérage de l’altitude du Soleil au cours de l’année 321
À retenir 322
BIBLIOGRAPHIE 325
INDEX 326
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Le cours présenté dans ce livre est le fruit de plusieurs années d’enseignement dispensé
aux étudiants de première année à l’université du Maine. Il s’agit d’un cours d’introduction à la mécanique du point et des systèmes de points matériels. Notre souci au cours
de la rédaction de cet ouvrage a été de nous référer aux connaissances acquises par les
étudiants dans les classes du secondaire afin d’assurer une transition la plus continue possible.
La principale difficulté que nous avons rencontrée lors de ce cours a été certainement
d’ordre mathématique. La mécanique est une science qui exige de la rigueur et les
concepts acquis lors de l’apprentissage dans le secondaire sont ici repris de façon plus
formelle et rigoureuse. Nous présentons donc, en annexe 1, les outils mathématiques qui
nous semblent nécessaires à la bonne compréhension du cours de physique.
Le premier et le second chapitres sont consacrés à la cinématique du point ainsi qu’aux
changements de référentiels. Nous insistons plus particulièrement sur la définition du
référentiel ; cette définition conditionne bien souvent la façon de traiter un problème et
reste, bien des fois, mal comprise.
Nous présentons ensuite les lois fondamentales de la mécanique en décrivant les forces les
plus classiques susceptibles d’intervenir dans les problèmes de mécanique. Nous introduisons alors les concepts d’énergie et de puissance avant de présenter les oscillateurs libres
et forcés.
La partie suivante montre que pour traiter un problème de mécanique dans un référentiel
non galiléen il est nécessaire d’introduire des pseudos forces appelées forces d’inertie.
L’étude du poids d’un corps sur Terre met en évidence le fait que le référentiel terrestre
n’est pas galiléen. L’étude du phénomène des marées conduit à la même conclusion pour
le référentiel géocentrique.
Les deux derniers chapitres sont consacrés au problème à deux corps. L’accent est mis
sur la notion de référentiel barycentrique. L’étude de la trajectoire d’un système à deux
corps permet de retrouver les lois de Kepler auxquelles obéissent les planètes du système
solaire. Une présentation de la mécanique céleste se trouve à la fin du livre en annexe 2.
Cet ouvrage s’adresse bien sûr aux étudiants du premier cycle universitaire mais aussi à
ceux des classes préparatoires, du CAPES et de l’agrégation. Nous espérons qu’il leur sera
une aide précieuse dans leur effort de compréhension de cette branche de la physique.
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos III
CHAPITRE 1 . C INÉMATIQUE DU POINT 1
1. De la nécessité du référentiel 1
2. Vitesse d’un point matériel 5
3. Accélération d’un point matériel 9
4. Récapitulatif 11
5. Exemples de mouvements 12
À retenir 18
Exercice d’application a vec solution détaillée 19
Exercices 20
Solutions 23
CHAPITRE 2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS 29
1. Mouvements d’un référentiel par rapport à un autre 29
2. Étude de la vitesse 34
3. Étude de l’accélération 41
À retenir 43
Exercice d’application a vec solution détaillée 44
Exercices 47
Solutions 51
CHAPITRE 3. LOIS DE NEWTON ET RÉFÉRENTIELS GALILÉENS 57
1. Principe d’inertie : première loi de Newton 57
2. Principe de la dynamique : deuxième loi de Newton 62
3. Actions réciproques : troisième loi de Newton 65
4. Les forces 66
5. Applications 72
À retenir 77
Exercices d’application a vec solution détaillée 78
Exercices 83
Solutions 86
CHAPITRE 4. TRAVAIL, PUISSANCE, ÉNERGIE 93
1. Travail d’une force 93
2. Exemples de calcul du travail 95
3. Puissance d’une force 98
4. Énergie 98
5. États liés d’un système mécaniquement isolé 104
À retenir 107
Exercices d’application a vec solution détaillée 109
Exercices 121
Solutions 121
CHAPITRE 5 . OSCILL ATEURS M ÉCANIQUES 125
1. L’oscillateur harmonique 125
2. Équation différentielle 127
3. Exemples d’oscillateurs harmoniques 128
4. Étude énergétique des oscillateurs 130
5. Oscillateur mécanique amorti par frottements visqueux 132
6. Analogie électrique 137
7. Oscillateur amorti par frottement solide 137
8. Portrait de phase d’un oscillateur 141
À retenir 143
Exercices d’application a vec solution détaillée 144
Exercices 152
Solutions 153
CHAPITRE 6 . OSCILL ATIONS FORCÉES, R ÉSONANCE 155
1. Oscillations forcées 155
2. Solution de l’équation différentielle 158
3. Transfert de puissance 163
4. Facteur de qualité 165
À retenir 166
Exercices d’application a vec solution détaillée 167
CHAPITRE 7 . INTERACTION GRAV ITATIONNELLE 175
1. Attraction universelle 175
2. Champ de gravitation terrestre 177
3. Énergie potentielle de gravitation 179
4. Applications 181
À retenir 185
CHAPITRE 8 . R ÉFÉRENTIELS NON G ALILÉENS 187
1. Introduction 187
2. Loi de la dynamique dans un référentiel non galiléen 188
3. Exemples d’application 189
4. Dynamique terrestre 197
À retenir 209
Exercices d’application a vec solution détaillée 209
Exercices 219
Solutions 221
CHAPITRE 9 . SYSTÈMES À DEUX CORPS 227
1. Éléments cinétiques 227
2. Référentiel du centre de masse 229
3. Relation fondamentale de la dynamique 232
4. Propriétés du mouvement 236
À retenir 241
Exercices d’application a vec solution détaillée 242
CHAPITRE 10. TRAJECTOIRES D’UN SYSTÈME À DEUX CORPS 253
1. Rappels 253
2. Équation polaire de la trajectoire : Formule de Binet. 254
3. Résolution de la formule de Binet 256
4. Étude des trajectoires 257
5. Étude énergétique 260
6. Trajectoires elliptiques : lois de Kepler 261
À retenir 265
Exercices d’application a vec solution détaillée 265
Exercices 274
Solutions 277
ANNEXE 1. RAPPEL DES OUTILS MATHÉMATIQUES 283
1. Scalaires et vecteurs 283
2. Composantes d’un vecteur 286
3. Produit scalaire 288
4. Produit vectoriel 290
5. Dérivation vectorielle 293
6. Différentielle d’une fonction 294
7. Vecteur gradient d’une fonction 302
8. Intégrales et primitives 304
9. Intégrales vectorielles 306
ANNEXE 2. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE CÉLESTE 309
1. Historique 309
2. Définitions 311
3. La Voie Lactée 312
4. Le Système Solaire 313
5. La définition du temps 316
6. Temps et repérage de la longitude des étoiles 318
7. Repérage de l’altitude du Soleil au cours de l’année 321
À retenir 322
BIBLIOGRAPHIE 325
INDEX 326
