Livre: Algèbre linéaire et géométrie, Rappel de cours et exercices corrigés / Luc Jolivet & Rabah Labbas
Livre : Algèbre linéaire et géométrie, Rappel de cours et exercices corrigés - Luc Jolivet Rabah Labbas PDF
APPLICATIONS MATHÉMATIQUES AVEC MATLAB
Algèbre linéaire et géométrie
rappel de cours et exercices corrigés
Luc Jolivet
Rabah Labbas
Hermes Science Publications
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Nom du fichier : Luc Jolivet, Rabah Labbas-Algèbre linéaire et géométrie _ Rappel de cours et exercices corrigés-Hermes Science Publications (2004).pdf
Taille du fichier : 1.45 MB
Nombre de pages : 320
Date de publication : 09/11/2017
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Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PREMI»RE PARTIE. PR…SENTATION DE MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 17
Chapitre 1. Calculs avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1. Calculs numÈriques usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3. ConnaÓtre les fonctions utilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4. Calculs rÈpÈtÈs sur tous les ÈlÈments díun tableau . . . . . . . . . 21
1.2. Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. ReprÈsentation graphique díune fonction . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2. Autres reprÈsentations graphiques planes . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3. Calcul symbolique avec Symbolic Math Toolbox . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Simplification díexpression algÈbrique . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Un exemple de calcul avec une variable . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Utilisation de syms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4. Calculs trigonomÈtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. RÈsolution díÈquations ou díinÈquations . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.6. Mises en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. ItÈrations et Ètude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1. Format long, format short . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2. Tableau díÈvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3. Graphe díune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4. Dessin díun quadrilatËre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.5. EgalitÈs symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.6. ItÈrÈs díune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.7. Suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chapitre 2. Programmation avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. CrÈer des sous-programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. MÈmoriser des instructions dans un fichier script . . . . . . . . . 41
2.1.2. ReprÈsenter une fonction mathÈmatique . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. CrÈer un sous-programme avec paramËtres . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Traitements conditionnels, expressions logiques . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1. Exemple : Ètude díune fonction dÈfinie par morceaux . . . . . . . 47
2.2.2. Expressions logiques et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3. Exemple de fonction rÈcursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Les types de donnÈes utilisÈs par Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1. Type numÈrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2. ChaÓnes de caractËres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3. Type symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Quelques commandes importantes de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1. Sauvegardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2. Gestion des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3. Gestion de líaffichage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Suite pseudo-alÈatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3. P.G.C.D de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4. Calculs sur une chaine de caractËres . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DEUXI»ME PARTIE. ALG»BRE LIN…AIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chapitre 3. SystËmes linÈaires : mÈthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. SystËmes linÈaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1. DÈfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2. Líensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3. SystËmes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. OpÈrations fondamentales sur les systËmes . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. MÈthode de rÈsolution de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1. PrÈsentation sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. SystËmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. RÈsolution avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1. Utilisation de solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2. Utilisation de rref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.1. SystËmes linÈaires classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.2. Un systËme linÈaire avec paramËtre . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chapitre 4. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1. GÈnÈralitÈs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1. Notations et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3. DÈfinir des matrices avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. OpÈrations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2. Multiplication par les scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3. Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.4. TransposÈe díune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5. Calcul matriciel avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3. Inversion de matrices carrÈes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1. DÈfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2. Actions de Gauss sur les matrices carrÈes . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3. Calcul explicite de líinverse díune matrice . . . . . . . . . . . . . 93
4.4. DÈterminant díune matrice carrÈe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1. Cas díune matrice de type (2,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2. Cas díune matrice de type (3,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.3. Cas díune matrice quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.4. DÈterminant de matrices particuliËres . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.5. PropriÈtÈ fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5. PropriÈtÈs des dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.1. DÈveloppement suivant les colonnes ou les lignes . . . . . . . . . 102
4.5.2. Quand un dÈterminant est-il nul ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.3. Actions de Gauss sur les dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.4. DÈterminant díun produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6. Calculs de dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.1. MÈthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.2. Utilisation de la commande det de Matlab . . . . . . . . . . . . . 107
4.7. Retour aux systËmes et formules de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.1. Ecriture matricielle des systËmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.2. RÈsolution par les dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.1. Construction díune matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.2. Calculs avec trois matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.3. Parts díun marchÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.4. Calculs avec deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8.5. MÈthode de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.6. Sur un systËme de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.7. Un systËme de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Chapitre 5. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1. Líespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1. OpÈrations dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.2. Structure díespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. ConsÈquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. Líespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3. Cas gÈnÈral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1. Structure díespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.3. Combinaisons linÈaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.4. Notion de sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.5. Sous-espaces vectoriels engendrÈs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4. Bases díun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.1. Famille gÈnÈratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.2. Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.3. Base et dimension díun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.4. CaractÈrisation díune base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.5. Matrice des coordonnÈes díune famille de vecteurs . . . . . . . . 138
5.4.6. Rang díune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.1. Un plan vectoriel de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.2. Un systËme de 4 vecteurs de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5.3. Un s-e.v de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5.4. Un s-e.v de M4(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.5. Matrices magiques de type (3,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.6. Sur líespace vectoriel R2[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.7. Calcul de rang dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5.8. Calcul de rang dans R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Chapitre 6. Applications linÈaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1. DÈfinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.1. Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2. DÈfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2. PropriÈtÈs fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.1. PremiËres consÈquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.2. Noyau et image díune application linÈaire . . . . . . . . . . . . . 169
6.3. Applications linÈaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.1. DÈtermination par líimage díune base . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.2. Matrice díune application linÈaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4. Applications linÈaires et matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4.1. Le problËme posÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4.2. Exemple de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.4.3. Utilisation de la matrice diagonale D . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4.4. Les fonctions prÈdÈfinies de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.1. Noyau et image díune application linÈaire . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.2. Une application linÈaire avec paramËtre . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
TROISI»ME PARTIE. G…OM…TRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Chapitre 7. Calcul vectoriel et gÈomÈtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1. Rappels : vecteurs gÈomÈtriques du plan ou de líespace . . . . . . . . . 191
7.1.1. Vecteur associÈ ‡ un couple de points . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.2. OpÈrations sur les vecteurs gÈomÈtriques . . . . . . . . . . . . . . 193
7.1.3. Vecteurs colinÈaires, vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2. Calculs avec les coordonnÈes cartÈsiennes dans le plan . . . . . . . . . 195
7.2.1. Bases et coordonnÈes díun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.2. RepËres et coordonnÈes díun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.3. Exemples díutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.4. Equations díune droite du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3. CoordonnÈes cartÈsiennes dans líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.1. Bases et repËres de líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2. Calculs avec les coordonnÈes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.3. Exemples díutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4. Equations de droites et de plans dans líespace . . . . . . . . . . . 204
7.3.5. Autres reprÈsentations paramÈtriques dans líespace . . . . . . . . 209
7.4. Changements de base et changements de repËre . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.1. Changement de base dans líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.2. Changement de repËre dans líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.3. Changements de base et de repËre dans le plan . . . . . . . . . . . 214
7.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.1. Une suite de parallÈlogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.2. Solutions entiËres díune Èquation linÈaire . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.3. Etude díun parallÈlipËde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.4. Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.5. Etude díune symÈtrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5.6. Changement de repËre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.7. Parabole dans un nouveau repËre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Chapitre 8. Produit scalaire et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1. Bases orthonormÈes dans le plan et líespace . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1.1. Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1.2. Norme díun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.3. DÈfinition díune base orthonormÈe . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.1.4. Expression analytique de la norme et de la distance . . . . . . . . 233
8.1.5. Calculs avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan ou líespace . . . . . . . . 235
8.2.1. DÈfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.2. PropriÈtÈs de symÈtrie et bilinÈaritÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.3. Produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.4. Produit scalaire et orthogonalitÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.5. Produit scalaire et changement de base orthonormÈe . . . . . . . 236
8.2.6. Produit scalaire et angle de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2.7. Exemple díutilisation du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 239
8.3. Produit vectoriel dans V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.1. Orientation dans V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.2. DÈfinition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.3.3. PropriÈtÈs díantisymÈtrie et de bilinÈaritÈ . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.4. Produit mixte de trois vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.5. PropriÈtÈs gÈomÈtriques du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . 243
8.3.6. Produit vectoriel et changement de base orthonormÈe directe . . . 244
8.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.1. Norme díun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.2. Distance díun point ‡ un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.3. Plan mÈdiateur díun segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.4.4. Distance díun point ‡ une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.4.5. Faces visibles et faces cachÈes díun cube . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Chapitre 9. Transformations dans le plan et dans líespace . . . . . . . . . . 263
9.1. Transformations gÈomÈtriques et applications linÈaires . . . . . . . . . 263
9.1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.2. Application affine et application linÈaire associÈe . . . . . . . . . 264
9.1.3. Applications affines et calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2. CoordonnÈes homogËnes et transformations planes . . . . . . . . . . . 270
9.2.1. CoordonnÈes homogËnes díun point du plan . . . . . . . . . . . . 270
9.2.2. Matrice, en coordonnÈes homogËnes, de transformations usuelles 273
9.2.3. Image díune figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2.4. Composition de transformations et matrices en coordonnÈes ho
mogËnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2.5. RÈciproque díune transformation et matrices en coordonnÈes ho
mogËnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.2.6. Formule de changement de repËre en coordonnÈes homogËnes . . 279
9.3. CoordonnÈes homogËnes et transformations de líespace . . . . . . . . . 280
9.3.1. CoordonnÈes homogËnes díun point de líespace . . . . . . . . . . 280
9.3.2. Matrices des transformations de líespace . . . . . . . . . . . . . . 281
9.4. Projections et leurs matrices en coordonnÈes homogËnes . . . . . . . . 285
9.4.1. DiffÈrents types de projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4.2. Projections sur un plan quelconque P . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.4.3. ReprÈsentation díune figure de líespace avec Matlab . . . . . . . 291
9.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.5.1. Quelques matrices en coordonnÈes homogËnes . . . . . . . . . . . 294
9.5.2. Rotation et symÈtrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.5.3. Rotation et translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.5.4. Ecran graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.5.5. Projection parallËle et projection perspective . . . . . . . . . . . . 297
9.5.6. Projection perspective sur un plan "oblique" . . . . . . . . . . . . 298
9.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
APPLICATIONS MATHÉMATIQUES AVEC MATLAB
Algèbre linéaire et géométrie
rappel de cours et exercices corrigés
Luc Jolivet
Rabah Labbas
Hermes Science Publications
mots clefs
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Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PREMI»RE PARTIE. PR…SENTATION DE MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 17
Chapitre 1. Calculs avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1. Calculs numÈriques usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3. ConnaÓtre les fonctions utilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4. Calculs rÈpÈtÈs sur tous les ÈlÈments díun tableau . . . . . . . . . 21
1.2. Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. ReprÈsentation graphique díune fonction . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2. Autres reprÈsentations graphiques planes . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3. Calcul symbolique avec Symbolic Math Toolbox . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Simplification díexpression algÈbrique . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Un exemple de calcul avec une variable . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Utilisation de syms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4. Calculs trigonomÈtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. RÈsolution díÈquations ou díinÈquations . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.6. Mises en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. ItÈrations et Ètude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1. Format long, format short . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2. Tableau díÈvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3. Graphe díune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4. Dessin díun quadrilatËre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.5. EgalitÈs symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.6. ItÈrÈs díune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.7. Suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chapitre 2. Programmation avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. CrÈer des sous-programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. MÈmoriser des instructions dans un fichier script . . . . . . . . . 41
2.1.2. ReprÈsenter une fonction mathÈmatique . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. CrÈer un sous-programme avec paramËtres . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Traitements conditionnels, expressions logiques . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1. Exemple : Ètude díune fonction dÈfinie par morceaux . . . . . . . 47
2.2.2. Expressions logiques et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3. Exemple de fonction rÈcursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Les types de donnÈes utilisÈs par Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1. Type numÈrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2. ChaÓnes de caractËres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3. Type symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Quelques commandes importantes de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1. Sauvegardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2. Gestion des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3. Gestion de líaffichage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Suite pseudo-alÈatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3. P.G.C.D de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4. Calculs sur une chaine de caractËres . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DEUXI»ME PARTIE. ALG»BRE LIN…AIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chapitre 3. SystËmes linÈaires : mÈthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. SystËmes linÈaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1. DÈfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2. Líensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3. SystËmes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. OpÈrations fondamentales sur les systËmes . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. MÈthode de rÈsolution de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1. PrÈsentation sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. SystËmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. RÈsolution avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1. Utilisation de solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2. Utilisation de rref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.1. SystËmes linÈaires classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.2. Un systËme linÈaire avec paramËtre . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chapitre 4. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1. GÈnÈralitÈs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1. Notations et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3. DÈfinir des matrices avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. OpÈrations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2. Multiplication par les scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3. Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.4. TransposÈe díune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5. Calcul matriciel avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3. Inversion de matrices carrÈes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1. DÈfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2. Actions de Gauss sur les matrices carrÈes . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3. Calcul explicite de líinverse díune matrice . . . . . . . . . . . . . 93
4.4. DÈterminant díune matrice carrÈe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1. Cas díune matrice de type (2,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2. Cas díune matrice de type (3,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.3. Cas díune matrice quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.4. DÈterminant de matrices particuliËres . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.5. PropriÈtÈ fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5. PropriÈtÈs des dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.1. DÈveloppement suivant les colonnes ou les lignes . . . . . . . . . 102
4.5.2. Quand un dÈterminant est-il nul ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.3. Actions de Gauss sur les dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.4. DÈterminant díun produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6. Calculs de dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.1. MÈthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.2. Utilisation de la commande det de Matlab . . . . . . . . . . . . . 107
4.7. Retour aux systËmes et formules de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.1. Ecriture matricielle des systËmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.2. RÈsolution par les dÈterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.1. Construction díune matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.2. Calculs avec trois matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.3. Parts díun marchÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.4. Calculs avec deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8.5. MÈthode de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.6. Sur un systËme de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.7. Un systËme de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Chapitre 5. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1. Líespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1. OpÈrations dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.2. Structure díespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. ConsÈquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. Líespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3. Cas gÈnÈral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1. Structure díespace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.3. Combinaisons linÈaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.4. Notion de sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.5. Sous-espaces vectoriels engendrÈs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4. Bases díun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.1. Famille gÈnÈratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.2. Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.3. Base et dimension díun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.4. CaractÈrisation díune base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.5. Matrice des coordonnÈes díune famille de vecteurs . . . . . . . . 138
5.4.6. Rang díune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.1. Un plan vectoriel de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.2. Un systËme de 4 vecteurs de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5.3. Un s-e.v de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5.4. Un s-e.v de M4(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.5. Matrices magiques de type (3,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.6. Sur líespace vectoriel R2[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.7. Calcul de rang dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5.8. Calcul de rang dans R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Chapitre 6. Applications linÈaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1. DÈfinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.1. Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2. DÈfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2. PropriÈtÈs fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.1. PremiËres consÈquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.2. Noyau et image díune application linÈaire . . . . . . . . . . . . . 169
6.3. Applications linÈaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.1. DÈtermination par líimage díune base . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.2. Matrice díune application linÈaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4. Applications linÈaires et matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4.1. Le problËme posÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4.2. Exemple de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.4.3. Utilisation de la matrice diagonale D . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4.4. Les fonctions prÈdÈfinies de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.1. Noyau et image díune application linÈaire . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.2. Une application linÈaire avec paramËtre . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
TROISI»ME PARTIE. G…OM…TRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Chapitre 7. Calcul vectoriel et gÈomÈtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1. Rappels : vecteurs gÈomÈtriques du plan ou de líespace . . . . . . . . . 191
7.1.1. Vecteur associÈ ‡ un couple de points . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.2. OpÈrations sur les vecteurs gÈomÈtriques . . . . . . . . . . . . . . 193
7.1.3. Vecteurs colinÈaires, vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2. Calculs avec les coordonnÈes cartÈsiennes dans le plan . . . . . . . . . 195
7.2.1. Bases et coordonnÈes díun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.2. RepËres et coordonnÈes díun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.3. Exemples díutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.4. Equations díune droite du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3. CoordonnÈes cartÈsiennes dans líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.1. Bases et repËres de líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2. Calculs avec les coordonnÈes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.3. Exemples díutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4. Equations de droites et de plans dans líespace . . . . . . . . . . . 204
7.3.5. Autres reprÈsentations paramÈtriques dans líespace . . . . . . . . 209
7.4. Changements de base et changements de repËre . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.1. Changement de base dans líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.2. Changement de repËre dans líespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.3. Changements de base et de repËre dans le plan . . . . . . . . . . . 214
7.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.1. Une suite de parallÈlogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.2. Solutions entiËres díune Èquation linÈaire . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.3. Etude díun parallÈlipËde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.4. Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.5. Etude díune symÈtrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5.6. Changement de repËre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.7. Parabole dans un nouveau repËre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Chapitre 8. Produit scalaire et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1. Bases orthonormÈes dans le plan et líespace . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1.1. Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1.2. Norme díun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.3. DÈfinition díune base orthonormÈe . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.1.4. Expression analytique de la norme et de la distance . . . . . . . . 233
8.1.5. Calculs avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan ou líespace . . . . . . . . 235
8.2.1. DÈfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.2. PropriÈtÈs de symÈtrie et bilinÈaritÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.3. Produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.4. Produit scalaire et orthogonalitÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.5. Produit scalaire et changement de base orthonormÈe . . . . . . . 236
8.2.6. Produit scalaire et angle de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2.7. Exemple díutilisation du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 239
8.3. Produit vectoriel dans V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.1. Orientation dans V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.2. DÈfinition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.3.3. PropriÈtÈs díantisymÈtrie et de bilinÈaritÈ . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.4. Produit mixte de trois vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.5. PropriÈtÈs gÈomÈtriques du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . 243
8.3.6. Produit vectoriel et changement de base orthonormÈe directe . . . 244
8.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.1. Norme díun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.2. Distance díun point ‡ un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.3. Plan mÈdiateur díun segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.4.4. Distance díun point ‡ une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.4.5. Faces visibles et faces cachÈes díun cube . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Chapitre 9. Transformations dans le plan et dans líespace . . . . . . . . . . 263
9.1. Transformations gÈomÈtriques et applications linÈaires . . . . . . . . . 263
9.1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.2. Application affine et application linÈaire associÈe . . . . . . . . . 264
9.1.3. Applications affines et calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2. CoordonnÈes homogËnes et transformations planes . . . . . . . . . . . 270
9.2.1. CoordonnÈes homogËnes díun point du plan . . . . . . . . . . . . 270
9.2.2. Matrice, en coordonnÈes homogËnes, de transformations usuelles 273
9.2.3. Image díune figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2.4. Composition de transformations et matrices en coordonnÈes ho
mogËnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2.5. RÈciproque díune transformation et matrices en coordonnÈes ho
mogËnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.2.6. Formule de changement de repËre en coordonnÈes homogËnes . . 279
9.3. CoordonnÈes homogËnes et transformations de líespace . . . . . . . . . 280
9.3.1. CoordonnÈes homogËnes díun point de líespace . . . . . . . . . . 280
9.3.2. Matrices des transformations de líespace . . . . . . . . . . . . . . 281
9.4. Projections et leurs matrices en coordonnÈes homogËnes . . . . . . . . 285
9.4.1. DiffÈrents types de projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4.2. Projections sur un plan quelconque P . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.4.3. ReprÈsentation díune figure de líespace avec Matlab . . . . . . . 291
9.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.5.1. Quelques matrices en coordonnÈes homogËnes . . . . . . . . . . . 294
9.5.2. Rotation et symÈtrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.5.3. Rotation et translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.5.4. Ecran graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.5.5. Projection parallËle et projection perspective . . . . . . . . . . . . 297
9.5.6. Projection perspective sur un plan "oblique" . . . . . . . . . . . . 298
9.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
