Livre: Relativité restreinte, Bases et applications / Claude Semay & Bernard Silvestre-Brac
Livre: Relativité restreinte, Bases et applications / Claude Semay & Bernard Silvestre-Brac
SCIENCES SUP
Cours et exercices corrigés
Licence • Master • Écoles d’ingénieurs
RELATIVITÉ RESTREINTE
Bases et applications
Claude Semay
Bernard Silvestre-Brac
DUNOD
mots clefs
livre, pdf, djvu, télécharger, gratuit, gratuitement
Avant-propos
– Oui, mais qui a raison en réalité ? insista M. Tompkins.
– Vous ne pouvez pas poser une question aussi générale.
En relativité, les observations sont toujours rapportées
à un observateur particulier, un observateur
dont le mouvement est bien défini relativement à ce qui est observé.
Extrait d’un dialogue entre M. TOMPKINS et le professeur
Depuis qu’Albert Einstein a, en 1905, jeté les bases d’une des théories les plus fondamentales de l’histoire des sciences, la relativité restreinte, des centaines de livres
et des milliers d’articles ont été publiés sur le sujet. Rechercher, dans un ouvrage
comme celui-ci, l’originalité à tout prix n’aurait donc été ni aisé ni, sans doute, pédagogiquement avantageux. Nous croyons cependant que ce manuel se distingue d’autres livres par trois caractéristiques : premièrement, l’utilisation d’une représentation
graphique originale de la relativité restreinte ; deuxièmement, l’illustration de la
théorie par des exemples (académiques) basés sur les (futurs ?) voyages interstellaires ; troisièmement, la dérivation des équations de transformation à la fois par une
démarche historique et par une approche moderne beaucoup plus générale.
Nombre de nos concepts, basés sur le sens commun, doivent être abandonnés en
relativité restreinte, dont le plus solidement ancré en nous est sans doute le caractère
absolu du temps. La relativité d’Einstein est par bien des aspects une théorie étrange.
Heureusement, cela n’interdit nullement qu’elle puisse être bien comprise si l’on
veut bien se donner la peine de lui accorder l’attention qu’elle mérite. Un peu d’aide
étant cependant toujours la bienvenue, nous avons illustré aussi souvent que possible
certains développements formels de la théorie par une approche graphique originale
due à F. W. Sears et R. W. Brehme. Nous pensons qu’une représentation graphique
des concepts de base de la relativité restreinte peut fortement aider à la compréhension de la théorie et, en particulier, des fameux « paradoxes » qu’on lui attribue.
Comme dans beaucoup de manuels, nous illustrons la théorie par des applications
tirées, aussi souvent que possible, de publications scientifiques. Dans cet ouvrage,
nous faisons de plus appel à des exercices académiques basés sur les véhicules spatiaux. S’il est vrai que les fusées, et autres astronefs, ne sont pas des objets relativistes, on ne peut toutefois pas rejeter le fait qu’ils le deviennent un jour, dans un futur
peut-être lointain. Nous pensons en outre que ces « applications », toujours développées avec rigueur, peuvent apporter un peu de fantaisie et de rêve dans un texte parfois (souvent ?) austère. C’est également dans le but d’agrémenter un peu le manuel
que des illustrations issues de vieux magazines de science-fiction ont été ajoutées.
Dans ce livre, les équations de transformation de la relativité restreinte sont établies en se basant sur l’invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Cette
démarche, qui est la plus utilisée et sans doute aussi la plus simple, n’est cependant
pas la plus générale. Nous démontrerons donc l’existence d’une vitesse limite invariante dans l’univers en partant d’hypothèses très raisonnables sur la structure de
l’espace-temps. Cela se fait indépendamment de la théorie électromagnétique,
celle-ci ne fournissant qu’un cadre pratique pour mesurer cette vitesse.
Cet ouvrage ne se prétend nullement exhaustif. En particulier, certains points difficiles de la théorie de la relativité restreinte, comme les représentations des groupes de Lorentz ou de Poincaré, ne seront pas abordés. Bien qu’un chapitre important soit consacré aux connexions existant entre la relativité restreinte et
l’électromagnétisme, cette dernière théorie est loin d’être complètement couverte.
Ce manuel s’adresse avant tout aux étudiants n’ayant encore aucune notion de la
théorie de la relativité restreinte, mais des lecteurs plus avertis doivent pouvoir
cependant y trouver de nombreuses matières à réflexion.
Nous proposons ici un petit guide de lecture. Certains mots importants, souvent
propres à la théorie de la relativité restreinte, sont écrits en italique lorsqu’ils apparaissent pour la première fois dans le texte. Nous insistons sur un mot ou un bout de
phrase en l’écrivant en gras. Certaines sections marquées d’un astérisque (*) abordent des sujets plus difficiles ou pouvant être omis dans une première lecture. Les
nombreuses références citées dans le texte, ainsi que les ouvrages repris dans la
bibliographie, permettent au lecteur d’approfondir certains points particuliers.
L’indication « biblio » signale qu’une référence est mentionnée dans la bibliographie.
Une bonne compréhension d’une théorie se traduit par la capacité à résoudre des
problèmes spécifiques. À la fin de chaque chapitre, des exercices sont donc proposés au lecteur – dans un ordre de difficulté, approximativement et très subjectivement, croissante. Les exercices sont par nature une œuvre collective. Certains de
ceux que nous proposons sont inspirés de problèmes parus dans d’autres manuels,
cités dans la bibliographie ; d’autres sont extraits d’examens dont nous avons eu
connaissance ; quelques-uns sont de notre cru. Des notes sur ces exercices, donnant
les solutions – quand elles ne sont pas contenues dans l’énoncé du problème – ou
des informations complémentaires, sont rassemblées à la fin de l’ouvrage.
Le manuel se clôture par quelques annexes. Nous ne saurions trop conseiller leur
lecture, en particulier celle consacrée aux unités dites naturelles et celle où sont discutées les notions (trop souvent confondues) de grandeurs invariantes, conservées
et constantes.
La rédaction de cet ouvrage a bénéficié des observations et critiques de nombreux lecteurs, étudiants, enseignants et amis. Nous les remercions tous chaleureusement, en particulier Fabien Buisseret, Benjamin Fuks et Vincent Mathieu. Nous
remercions aussi Daniel Flipo pour ses nombreux conseils de TEXnicien. Nous
tenons également à exprimer toute notre gratitude à Raoul Giordan qui nous a permis d’illustrer cet ouvrage avec quelques-uns de ses dessins.
Table des matières
AVANT-PROPOS V
CHAPITRE 1 • LE CONCEPT DE LA RELATIVITÉ 1
1.1 La notion de référentiel 1
1.2 Les transformations de Galilée 8
1.3 Michelson, la Terre et l’éther 10
1.4 Les postulats d’Einstein 13
1.5 La relativité du temps 16
1.6 L’expérience de Kennedy-Thorndike 18
1.7 La vitesse de la lumière 20
1.8 Avant d’aller plus loin 21
EXERCICES 22
CHAPITRE 2 • TRANSFORMATIONS DE LORENTZ SPÉCIALES 26
2.1 Transformations de Lorentz 26
2.2 Approches graphiques 38
EXERCICES 48
CHAPITRE 3 • LE TEMPS ET LA RELATIVITÉ 50
3.1 La notion de simultanéité 50
3.2 Temps propre et dilatation des temps 52
3.3 Structure causale de l’espace-temps 55
3.4 Vitesses supraluminiques et voyages dans le temps 56
3.5 Présents absolu et relatif 58
3.6 * La flèche du temps 60
3.7 Le « paradoxe » des jumeaux 61
EXERCICES 68
CHAPITRE 4 • L’ESPACE ET LA RELATIVITÉ 73
4.1 Contraction des longueurs 73
4.2 Invariance de la dimension transversale 75
4.3 Transformation des angles 76
4.4 Transformation des volumes 77
4.5 Méson π en mouvement rapide 78
4.6 Le train et le tunnel 80
EXERCICES 82
CHAPITRE 5 • LA VITESSE ET LA RELATIVITÉ 86
5.1 Composition des vitesses 86
5.2 Expérience de Fizeau 89
5.3 Illusions relativistes 91
EXERCICES 97
CHAPITRE 6 • RECONSTRUIRE LA RELATIVITÉ RESTREINTE 101
6.1 Définition d’un groupe 101
6.2 * Nouvelle dérivation des transformations de Lorentz 102
6.3 Structure de groupe et rapidité 111
6.4 Du relatif et de l’absolu 113
EXERCICES 114
CHAPITRE 7 • TRANSFORMATIONS DE LORENTZ GÉNÉRALES 116
7.1 Non-commutativité des transformations spéciales 116
7.2 Transformations de Lorentz avec et sans rotation 118
7.3 * Précession de Thomas 123
7.4 Transformations non homogènes 128
7.5 Loi générale de composition des vitesses 129
EXERCICES 130
CHAPITRE 8 • QUADRIVECTEURS 133
8.1 L’espace-temps de Minkowski 134
8.2 Propriétés des quadrivecteurs et métrique de Minkowski 137
8.3 Groupe de Lorentz 143
8.4 Intervalle de temps propre 146
8.5 Quadrivecteur vitesse 148
8.6 Vitesse relative 150
8.7 Quadrivecteur accélération 151
8.8 Mobile à accélération propre constante 154
EXERCICES 159
CHAPITRE 9 • DYNAMIQUE RELATIVISTE 166
9.1 Équation fondamentale 166
9.2 Équivalence masse-énergie 170
9.3 Quadrivecteur énergie-impulsion 173
9.4 Quadrivecteur force 175
9.5 Particules de masse nulle 176
9.6 Quadrivecteur fréquence 186
EXERCICES 188
CHAPITRE 10 • SYSTÈMES DE PARTICULES 195
10.1 Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion 195
10.2 Astronefs relativistes 197
10.3 Référentiel du centre de masse 203
10.4 Désintégrations et collisions 207
10.5 Systèmes à deux particules dans la voie finale 214
10.6 * Systèmes à trois particules dans la voie finale 220
EXERCICES 224
CHAPITRE 11 • LE CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE 233
11.1 Champs tensoriels et dérivées covariantes 233
11.2 Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques 235
11.3 Quadrivecteur densité de courant électrique 237
11.4 Quadrivecteur potentiel 238
11.5 Tenseur électromagnétique 239
11.6 Transformation du champ électromagnétique 242
11.7 Force de Lorentz 244
11.8 Ondes planes 246
11.9 Mouvement d’une charge dans un champ électrique uniforme 248
11.10 * Potentiel et champ d’une charge en mouvement 249
EXERCICES 254
SOLUTIONS DES EXERCICES 260
POSTFACE 277
ANNEXE A • UNITÉS NATURELLES 278
ANNEXE B • QUANTITÉS INVARIANTES, CONSERVÉES ET CONSTANTES 280
ANNEXE C • GROUPE DE POINCARÉ 282
ANNEXE D • LES MÉTRIQUES DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE 284
ANNEXE E • LE PARADOXE EPR 287
LEXIQUE FRANÇAIS-ANGLAIS 290
BIBLIOGRAPHIE 291
RÉFÉRENCES DES CITATIONS 293
INDEX 294
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Bases et applications
Claude Semay
Bernard Silvestre-Brac
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Claude Semay
Chercheur qualifié FNRS
à l’université de Mons-Hainaut (Belgique)
Bernard Silvestre-Brac
Chargé de recherches CNRS
au laboratoire de Physique Subatomique
et de Cosmologie de Grenoble
Avant-propos
– Oui, mais qui a raison en réalité ? insista M. Tompkins.
– Vous ne pouvez pas poser une question aussi générale.
En relativité, les observations sont toujours rapportées
à un observateur particulier, un observateur
dont le mouvement est bien défini relativement à ce qui est observé.
Extrait d’un dialogue entre M. TOMPKINS et le professeur
Depuis qu’Albert Einstein a, en 1905, jeté les bases d’une des théories les plus fondamentales de l’histoire des sciences, la relativité restreinte, des centaines de livres
et des milliers d’articles ont été publiés sur le sujet. Rechercher, dans un ouvrage
comme celui-ci, l’originalité à tout prix n’aurait donc été ni aisé ni, sans doute, pédagogiquement avantageux. Nous croyons cependant que ce manuel se distingue d’autres livres par trois caractéristiques : premièrement, l’utilisation d’une représentation
graphique originale de la relativité restreinte ; deuxièmement, l’illustration de la
théorie par des exemples (académiques) basés sur les (futurs ?) voyages interstellaires ; troisièmement, la dérivation des équations de transformation à la fois par une
démarche historique et par une approche moderne beaucoup plus générale.
Nombre de nos concepts, basés sur le sens commun, doivent être abandonnés en
relativité restreinte, dont le plus solidement ancré en nous est sans doute le caractère
absolu du temps. La relativité d’Einstein est par bien des aspects une théorie étrange.
Heureusement, cela n’interdit nullement qu’elle puisse être bien comprise si l’on
veut bien se donner la peine de lui accorder l’attention qu’elle mérite. Un peu d’aide
étant cependant toujours la bienvenue, nous avons illustré aussi souvent que possible
certains développements formels de la théorie par une approche graphique originale
due à F. W. Sears et R. W. Brehme. Nous pensons qu’une représentation graphique
des concepts de base de la relativité restreinte peut fortement aider à la compréhension de la théorie et, en particulier, des fameux « paradoxes » qu’on lui attribue.
Comme dans beaucoup de manuels, nous illustrons la théorie par des applications
tirées, aussi souvent que possible, de publications scientifiques. Dans cet ouvrage,
nous faisons de plus appel à des exercices académiques basés sur les véhicules spatiaux. S’il est vrai que les fusées, et autres astronefs, ne sont pas des objets relativistes, on ne peut toutefois pas rejeter le fait qu’ils le deviennent un jour, dans un futur
peut-être lointain. Nous pensons en outre que ces « applications », toujours développées avec rigueur, peuvent apporter un peu de fantaisie et de rêve dans un texte parfois (souvent ?) austère. C’est également dans le but d’agrémenter un peu le manuel
que des illustrations issues de vieux magazines de science-fiction ont été ajoutées.
Dans ce livre, les équations de transformation de la relativité restreinte sont établies en se basant sur l’invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Cette
démarche, qui est la plus utilisée et sans doute aussi la plus simple, n’est cependant
pas la plus générale. Nous démontrerons donc l’existence d’une vitesse limite invariante dans l’univers en partant d’hypothèses très raisonnables sur la structure de
l’espace-temps. Cela se fait indépendamment de la théorie électromagnétique,
celle-ci ne fournissant qu’un cadre pratique pour mesurer cette vitesse.
Cet ouvrage ne se prétend nullement exhaustif. En particulier, certains points difficiles de la théorie de la relativité restreinte, comme les représentations des groupes de Lorentz ou de Poincaré, ne seront pas abordés. Bien qu’un chapitre important soit consacré aux connexions existant entre la relativité restreinte et
l’électromagnétisme, cette dernière théorie est loin d’être complètement couverte.
Ce manuel s’adresse avant tout aux étudiants n’ayant encore aucune notion de la
théorie de la relativité restreinte, mais des lecteurs plus avertis doivent pouvoir
cependant y trouver de nombreuses matières à réflexion.
Nous proposons ici un petit guide de lecture. Certains mots importants, souvent
propres à la théorie de la relativité restreinte, sont écrits en italique lorsqu’ils apparaissent pour la première fois dans le texte. Nous insistons sur un mot ou un bout de
phrase en l’écrivant en gras. Certaines sections marquées d’un astérisque (*) abordent des sujets plus difficiles ou pouvant être omis dans une première lecture. Les
nombreuses références citées dans le texte, ainsi que les ouvrages repris dans la
bibliographie, permettent au lecteur d’approfondir certains points particuliers.
L’indication « biblio » signale qu’une référence est mentionnée dans la bibliographie.
Une bonne compréhension d’une théorie se traduit par la capacité à résoudre des
problèmes spécifiques. À la fin de chaque chapitre, des exercices sont donc proposés au lecteur – dans un ordre de difficulté, approximativement et très subjectivement, croissante. Les exercices sont par nature une œuvre collective. Certains de
ceux que nous proposons sont inspirés de problèmes parus dans d’autres manuels,
cités dans la bibliographie ; d’autres sont extraits d’examens dont nous avons eu
connaissance ; quelques-uns sont de notre cru. Des notes sur ces exercices, donnant
les solutions – quand elles ne sont pas contenues dans l’énoncé du problème – ou
des informations complémentaires, sont rassemblées à la fin de l’ouvrage.
Le manuel se clôture par quelques annexes. Nous ne saurions trop conseiller leur
lecture, en particulier celle consacrée aux unités dites naturelles et celle où sont discutées les notions (trop souvent confondues) de grandeurs invariantes, conservées
et constantes.
La rédaction de cet ouvrage a bénéficié des observations et critiques de nombreux lecteurs, étudiants, enseignants et amis. Nous les remercions tous chaleureusement, en particulier Fabien Buisseret, Benjamin Fuks et Vincent Mathieu. Nous
remercions aussi Daniel Flipo pour ses nombreux conseils de TEXnicien. Nous
tenons également à exprimer toute notre gratitude à Raoul Giordan qui nous a permis d’illustrer cet ouvrage avec quelques-uns de ses dessins.
Table des matières
AVANT-PROPOS V
CHAPITRE 1 • LE CONCEPT DE LA RELATIVITÉ 1
1.1 La notion de référentiel 1
1.2 Les transformations de Galilée 8
1.3 Michelson, la Terre et l’éther 10
1.4 Les postulats d’Einstein 13
1.5 La relativité du temps 16
1.6 L’expérience de Kennedy-Thorndike 18
1.7 La vitesse de la lumière 20
1.8 Avant d’aller plus loin 21
EXERCICES 22
CHAPITRE 2 • TRANSFORMATIONS DE LORENTZ SPÉCIALES 26
2.1 Transformations de Lorentz 26
2.2 Approches graphiques 38
EXERCICES 48
CHAPITRE 3 • LE TEMPS ET LA RELATIVITÉ 50
3.1 La notion de simultanéité 50
3.2 Temps propre et dilatation des temps 52
3.3 Structure causale de l’espace-temps 55
3.4 Vitesses supraluminiques et voyages dans le temps 56
3.5 Présents absolu et relatif 58
3.6 * La flèche du temps 60
3.7 Le « paradoxe » des jumeaux 61
EXERCICES 68
CHAPITRE 4 • L’ESPACE ET LA RELATIVITÉ 73
4.1 Contraction des longueurs 73
4.2 Invariance de la dimension transversale 75
4.3 Transformation des angles 76
4.4 Transformation des volumes 77
4.5 Méson π en mouvement rapide 78
4.6 Le train et le tunnel 80
EXERCICES 82
CHAPITRE 5 • LA VITESSE ET LA RELATIVITÉ 86
5.1 Composition des vitesses 86
5.2 Expérience de Fizeau 89
5.3 Illusions relativistes 91
EXERCICES 97
CHAPITRE 6 • RECONSTRUIRE LA RELATIVITÉ RESTREINTE 101
6.1 Définition d’un groupe 101
6.2 * Nouvelle dérivation des transformations de Lorentz 102
6.3 Structure de groupe et rapidité 111
6.4 Du relatif et de l’absolu 113
EXERCICES 114
CHAPITRE 7 • TRANSFORMATIONS DE LORENTZ GÉNÉRALES 116
7.1 Non-commutativité des transformations spéciales 116
7.2 Transformations de Lorentz avec et sans rotation 118
7.3 * Précession de Thomas 123
7.4 Transformations non homogènes 128
7.5 Loi générale de composition des vitesses 129
EXERCICES 130
CHAPITRE 8 • QUADRIVECTEURS 133
8.1 L’espace-temps de Minkowski 134
8.2 Propriétés des quadrivecteurs et métrique de Minkowski 137
8.3 Groupe de Lorentz 143
8.4 Intervalle de temps propre 146
8.5 Quadrivecteur vitesse 148
8.6 Vitesse relative 150
8.7 Quadrivecteur accélération 151
8.8 Mobile à accélération propre constante 154
EXERCICES 159
CHAPITRE 9 • DYNAMIQUE RELATIVISTE 166
9.1 Équation fondamentale 166
9.2 Équivalence masse-énergie 170
9.3 Quadrivecteur énergie-impulsion 173
9.4 Quadrivecteur force 175
9.5 Particules de masse nulle 176
9.6 Quadrivecteur fréquence 186
EXERCICES 188
CHAPITRE 10 • SYSTÈMES DE PARTICULES 195
10.1 Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion 195
10.2 Astronefs relativistes 197
10.3 Référentiel du centre de masse 203
10.4 Désintégrations et collisions 207
10.5 Systèmes à deux particules dans la voie finale 214
10.6 * Systèmes à trois particules dans la voie finale 220
EXERCICES 224
CHAPITRE 11 • LE CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE 233
11.1 Champs tensoriels et dérivées covariantes 233
11.2 Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques 235
11.3 Quadrivecteur densité de courant électrique 237
11.4 Quadrivecteur potentiel 238
11.5 Tenseur électromagnétique 239
11.6 Transformation du champ électromagnétique 242
11.7 Force de Lorentz 244
11.8 Ondes planes 246
11.9 Mouvement d’une charge dans un champ électrique uniforme 248
11.10 * Potentiel et champ d’une charge en mouvement 249
EXERCICES 254
SOLUTIONS DES EXERCICES 260
POSTFACE 277
ANNEXE A • UNITÉS NATURELLES 278
ANNEXE B • QUANTITÉS INVARIANTES, CONSERVÉES ET CONSTANTES 280
ANNEXE C • GROUPE DE POINCARÉ 282
ANNEXE D • LES MÉTRIQUES DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE 284
ANNEXE E • LE PARADOXE EPR 287
LEXIQUE FRANÇAIS-ANGLAIS 290
BIBLIOGRAPHIE 291
RÉFÉRENCES DES CITATIONS 293
INDEX 294
